Discussion:Méthode de Ferrari

Une erreur  ?

En partant de de l'équation de base où l'on a factorisé en

$\qquad x=z-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}$

on arrive a

$\qquad a_{4}z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$

et non

$\qquad z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$

comme écrit dans l'article.

Si quelqu'un pouvait vérifier ...

Kropotkine

Il n'est pas dit dans l'article qu'on obtient l'équation avec (p,q,r) en se contentant de faire la substitution indiquée. Il est dit "on se ramène" ce qui est assez vague pour contenir implicitement "avec un petit coup de pouce supplémentaire". Effectivement, il n'y a plus qu'à diviser la forme à laquelle vous êtes arrivée par a₄ (supposé non nul !) pour obtenir la forme dans l'article. CD 14 fev 2005 à 22:56 (CET)

Merci pour votre réponse qui m'est d'une utilité incommensurable ...

Dans l'article, il est écrit :

Considérons l'équation générale du quatrième degré suivante ; En posant ; on se ramène à une équation de la forme

C'est donc en faisant la substitution qu'on arrive à l'équation avec p q et r.

Pour dire que l'on arrive à a₄z³ ou z³, cela modifie simplement les valeurs de p q et r qui ne sont pas précisées dans l'article. Cela ne modifie donc pas grand chose dans le cas présent.

Mais merci quand même. Kropotkine - 17 février 2005

Que valent p, q, r ?

Je n'ai pa saisi ce que valaient q, p et r, c'est pas terrible comme explication serieu...

Expression de r fausse ?

Je voudrais dire qu'il me semble que l'expression de r est fausse. Quand on le calcul pour l'exemple donné on trouve -4 alors que l'on devrait trouver -2. Alors j'ai calculé r et j'ai trouver en formule developper:

$r=a(b/4a)^{4}-b(b/4a)^{3}+c(b/4a)^{2}-d(b/4a)+e$

Avec cette formule on trouve bien -2 pour l'exemple mais je voudrait bien que quelqu'un d'autre la vérifie. - 21 octobre 2007

La formule mise en ligne me semble correcte. Et elle donne bien en remplaçant (a, b, c, d ,e) par (1, 4, 3, -8, -10) la valeur -2 attendue

La formule que vous proposez est juste pour la forme de ar mais fausse pour la valeur de r. HB (d) 25 février 2010 à 17:26 (CET)

Un cas oublié

Bonjour, j'ai lu cette page et l'ai trouve très intéressante. Il y a quelques erreurs minimes, j'imagine qu'elles seront corrigées avec le temps. Néanmoins, il y a une précision majeure a apporter (selon moi).

Lors de l'obtention d'un polynôme du second degré $(2y-p)z^{2}-qz+y^{2}-r$, que l'on souhaite voir sous la forme d'un carré, il faut s'assurer que le coefficient dominant n'est pas nul ! En l'occurrence cela peut arriver si $2y-p=0$. Cela peut arriver dans le calcul du discriminant si $q=0$. Mais cela signifie que l'on a au départ un équation bicarrée qui se résout très facilement en posant $t=z^{2}$.

En espérant que ce soit utile ...- 9 février 2010

oui merci, très utile. J'ai préféré conserver la méthode générale et faire remarquer qu'un discriminant nul, avec ou sans a nul, permet toujours d'écrire ax²+bx+c sous forme d'un carré soit d'un polynôme du premier degré soit d'un polynôme constant. HB (d) 25 février 2010 à 17:05 (CET)

J'ai reformulé car il était prématuré d'affirmer que le discriminant vaut q² – 4(2y – p)(y² – r) : si le polynôme est de degré 1 son discriminant vaut 1 et s'il est constant son discriminant n'est pas défini. Anne 5/11/14

Merci, l'usage du terme discriminant dans le cas a = 0 était effectivement abusif. HB (discuter) 6 novembre 2014 à 08:35 (CET)

Je trouve qu'inclure ce cas alourdit inutilement l'exposé. Y a-t-il des sources qui le considèrent comme faisant partie de la méthode de Ferrari ? Anne 11/9/18

Incroyable ! En cherchant des sources, je vois de nombreux ouvrages où on divise par 2y-p sans se préoccuper jamais de la nullité du terme..... Lelong-Ferrand Arnaudiès (T1, 1977, p.179), quand ils présentent la méthode de Ferrari, ne se préoccupent pas de la nullité du coeff devant x² et écrivent que le second membre est un carré (mx + n)², si et seulement si le discriminant (et oui, ils emploient le terme de discriminant, qu'ils explicitent) est nul. Il faut reconnaitre que par la suite, ils ne cherchent pas à donner une valeur explicite à ce qu'ils appellent n, ce qui leur évite de distinguer deux cas ou de diviser par un coeff nul. Ce n'est que p. 181 qu'ils précisent que les méthodes exposées précédemment concernent l'équation générale mais que certains cas particuliers comme l'équation bicarrée donnent des résolutions plus immédiates. Maintenant cela ne me choquerait pas de limiter la méthode de Ferrari au cas des équations qui ne sont pas bi-carrées. HB (discuter) 11 septembre 2018 à 17:51 (CEST)

Serret non plus ne se préoccupe pas de la nullité du coeff (qu'il note différemment parce que son paramètre y n'est pas notre y mais notre (p + y)/2, c'est-à-dire le paramètre de Descartes et Lagrange) et divise par un éventuel √0.

Tout bien réfléchi, le cas bicarré est peut-être intéressant mais justement pas quand on choisit $2y-p=0$. Mais c'est un TI.

Anne, 23 h 48

Bon j'ai osé le TI. Du moment que de nombreux auteurs ne se préoccupent pas de la division par zéro, on peut leur rester fidèle en expliquant que le problème ne pose pas en réalité. Si tu as des scrupules, n'hésite pas à annuler. HB (discuter) 13 septembre 2018 à 11:49 (CEST) Après une relecture à froid, j'ai trouvé ma version non satisfaisante : elle rendait la dernière remarque incohérente et elle demandait d'exclure le cas p, q, r nuls. Il faudrait trouver une autre façon de dire les choses. HB (discuter) 14 septembre 2018 à 08:33 (CEST)

Bien trouvé. Merci Anne. HB (discuter) 18 septembre 2018 à 13:51 (CEST)

admiration

mon dieu j'en decouvre des choses avec vous maitre.merci beaucoup pour ces articles.j'ai une question puorriez vous faire de meme avec les equations du 6eme degres ?si c'est possible

Merci pour Ferrari. Pour les équations de degré 6 quelconques ni d'ailleurs pour les équations de degré 5 quelconques, il n'y a pas de méthode de résolution générale conduisant à l'expression des racines à l'aide de radicaux, Cela a été prouvé par Abel (voir Théorème d'Abel (algèbre)) qui dit que les équations de degré supérieur ou égal à 5 ne sont pas toutes résolubles par radicaux.HB (d) 24 août 2012 à 10:25 (CEST)